2018年7月12日

努力创造信息时代的数学教育

作者: 

在当前究竟应当如何去理解“数学教育的现代化”?笔者以为,就当前而言,数学教育的现代化主要地即应被理解成“努力创造信息时代的数学教育”。

1.总的来说,努力创造信息时代的数学教育即应被看成人类社会由工业社会向信息社会过渡的必然要求。

在此笔者并愿特别强调这样两点:

第一,我们应当清楚地认识现代的物质(技术)和文化条件,特别是计算机技术的迅速发展与普及为数学教育的进一步发展所提供的有利条件。

具体地说,计算机技术的发展已对人类的全部生活,包括物质生活和文化生活产生了十分巨大的影响,以致被称为“改变了世界的机器”。就我们目前的论题而言,除去“数学化”倾向的进一步加强,并因此使得“数学上普遍的高标准”成为必然,以及因此而导致数学的重要变化,后者对于数学教育当然也有间接的影响这样两点以外,我们又应特别强调这样一个事实:计算机技术的发展为数学教育开拓了新的前景。

(1)计算机技术的迅速发展,使得人们有可能彻底摆脱片面强调计算技能的传统数学教学思想,并真正集中于学生解决问题能力的培养与数学思维的学习,特别是,计算能力低下将不再成为部分学生进一步学习的障碍。

(2)借助于计算机(和计算器),人们也就有可能克服传统计算方法的局限性并使得社会生活中的实际问题真正成为数学教学的组成部分,这对于提高学生的数学能力,包括树立正确的数学观念、态度等,显然都十分有利。

(3)计算机(器)技术的迅速发展为数学教学提供了新的有效手段。例如,图像计算器和计算机的应用就为函数的教学和空间想象力的培养提供了十分有效的手段。

(4)计算机的广泛应用为学生提供了一个更为有效的学习环境。例如,借助于适合的程序,学生就可相对独立地去从事数学的学习和探索,而不必过分地依赖教师的帮助和指导。

综上可见,计算机技术的迅速发展不仅为传统数学教育教学思想的实施提供了新的工具,更为数学教育改革开拓了新的广阔前景。这也就如《九十年代的中小学数学》中所指出的:“在数学教育史上从来没有哪项发展像微机那样为教育工作者展示了如此广阔的新的可能性。”(《国际展望:九十年代的数学教育》,上海教育出版社,1990,第117页)

当然,又如前面所指出的,我们不应将“数学教育的现代化”简单地等同于“以计算机为基础对数学教育进行重建”;毋宁说,这仍然是一个有待于深入研究的课题,即我们应当如何应用计算机(和计算器)来改进数学教学?

事实上,我们在此也可看到理论研究与教学实践的积极互动。具体地说,如果说在先前人们较为强调现代技术对于数学教学的革命性作用,也即认为现代技术,特别是计算机技术的迅速发展和广泛应用必然会造成数学教学与学习活动的革命性变化,那么,人们在现今就应说普遍采取了更为现实和理性的态度,对此例如由网络与远程教学等方面的发展就可清楚地看出。

具体地说,技术的发展确可被看成为我们改进教学提供了新的可能性,如网络的出现显然就为学生的学习与教师教学提供了更为丰富的资源,“远程教学”则更具有超越地域局限性的明显优点;然而,与盲目的乐观情绪不同,人们现已更为清楚地认识到了深入思考诸多相关问题的重要性,即如我们究竟应当如何很好地去利用网络中所提供的大量信息,而不是盲目地沉溺于广阔的“信息海洋”,以至完全放弃了自己的独立思考?“远程教学”又能否能够成为教学的常态,还是只适用于某些特殊的场合与时间?等等。更为一般地说,面对任何一种技术在数学教学中的应用,我们显然都应通过积极的教学实践与深入的理论研究很好地去认识它的优点与局限性,包括也就可以切实防止各种片面性的认识与简单化的做法。

总之,就现代技术在数学教学中的应用而言人们在现今可以说已经表现出了更大的自觉性。例如,在笔者看来,这事实上也就可以被看成国际数学教育委员会(ICMI)所组织的以下专题研究(专题17)的主要意义所在:“技术的再思考”。

第二,依据数学教育的文化相关性,我们显然也应注意分析整体性文化传统,乃至社会环境对于数学教育的重要影响,从而也就可以更有针对性地去进行工作,包括更为清楚地认识究竟什么应是数学教育深入发展的努力方向。

具体地说,所说的影响应当说既有积极的一面,也有消极的一面。例如,社会上因对教育现状的不满而引发的普遍的“危机感”显然就十分有利于教育,包括数学教育的改革和深入发展。这也就如美国数学协会(MAA)前任主席斯蒂恩(L. Steen)在离任时所指出的:“现在我们所面临的是对于教育前所未有的普遍关注,这既令人鼓掌,同时也使人感到很大的压力。”另外,又如以下的统计数字所清楚地表明的,即使在今天功利主义思想在中国仍然具有十分广泛的社会基础,更直接导致了所谓的“考试文化”,而这对于数学教育事业的深入发展显然十分不利(引自“社会对数学教育看法的调查与分析”,载《21世纪中国数学教育展望》课题组主编,《21世纪中国数学教育展望》(第一辑),同前,第250页):

 

你期望自己的孩子学好数学的主要原因(至多选三项)

项目

升学考试

考数学

日常生活

需要数学

选择好工作需要数学

日常生活不需要数学

将来参加的工作不需要数学

百分比

76.3%

92.1%

51.1%

1.7%

0.8%

 

你认为数学课重要的主要原因(至多选两项)

项目

在工作劳动中必不可少

在生活中必不可少

对个人修养必不可少

升学考试必不可少

招工考试必不可少

百分比

87.9%

86.0%

14.8%

73.0%

35.8%

 

当然,从更为深入的层面去分析,这事实上也应被看成中国传统文化的一个主要弊病:“中国教育和中国文化的问题一样,是弱智化。搞坏的原因是什么?是我们的教育评价目标就是‘成王败寇’四个字,急功近利,见利忘义,忘掉了教育的根本目的。”“这种成王败寇的评价标准的结果是不把学生当人,只想望子成龙、望子成材、望子成器。……就是你要成怪兽,你要成木头,你要成东西,就是不要成人。现在口口声声以人为本,最应该以人为本的是教育,可是在中国,最应该以人为本的领域最不把人当人。”(易中天,“我们的教育”,《扬子晚报》,2014年10月29日)

在此我们可对建国以来所形成的一些“新传统”作一简要分析。

具体地说,建国以来所形成的“数学教育教学传统”应当说有不少可贵的地方,特别是,“基础实”、“训练严”等这样一些优点,后者并已由所谓的“双第一”(这是指中国队在历届国际奥林匹克中学生数学竞赛,以及中国学生在各项国际性教育评估中所取得的良好成绩)得到了直接证明;但在肯定这些成绩的同时,我们又应清醒地看到存在的问题与不足之处。

例如,从学生的角度看,这就是一些明显的问题:

(1)尽管中国学生常规计算能力较强,但应用能力薄弱。

(2)与数学知识的掌握相比较,创造性能力的培养显然更为重要,但也正是在这一点,我国的数学教育也暴露出了严重弊病。这也就如美国著名数学家斯蒂恩在给笔者的信中所指出的,中国与美国学生相比一个重要的差异就在于:中国学生比较适应适用于特定问题的特定解法的“算法”的学习,而美国学生则较善于解决开放性的、含糊的、具有现实意义的,并需要更多创造性的非常规问题。

另外,从教师的角度去分析,我们显然也可看到一些明显的局限性,特别是,我们的教学研究往往集中于教学方法的研究,而且,这在很多情况下又只是纯粹的经验总结,但却未能上升到应有的理论高度。

当然,作为问题的另一方面,中国的数学教学传统也有很多优点和特色,从而我们对此也就应当很好地予以继承和发扬,也即应当将此看成中国数学教育现代化进程中所应高度重视的一个问题。

总之,就中国数学教育的深入发展而言,我们所面临的就不仅是由工业社会向信息社会过渡所造成的新的更高要求和不同的环境,也包括如何能够很好地去处理现代化与文化传统之间的关系,特别是,我们应找出适合中国数学教育发展的最佳途径,并应当努力创建出既符合时代需要又适合中国国情的数学教育。

2.为了清楚地指明数学的现代发展对于数学教育的重要涵义,我们仍将首先集中于分析计算机技术的发展对于数学本身所造成的重要变化,因为,正如前面所已提及的,这必然地也会对数学教育的未来走向产生实质性的影响。

第一,正如计算机为数学教育提供了新的有效手段,这也为数学研究提供了新的工具。对此例如由所谓的“计算机辅助数学研究”就可清楚地看出。著名数学家阿蒂亚(M. Atiyah)曾这样分析道:“计算机第一位和最明显的用途简单地可称之为‘吃数字’。高速机器极其适合进行极为大量的重复计算,使得那些本来因太复杂而无法处理的问题可以迅速地得到直接的数值答案。”当然,计算机对于数学研究的作用又不只限于计算:“计算机的一大优点是能图示信息,这一优点刚刚才开始受到数学家的青睐。许多复杂的数学问题包含几何特征,图示为探索现象提供了一种极其有效的新工具。”再者,“四色定理”的证明则又可以被看成“机器证明”的典型例子。从而,“概括起来,计算机在数学家研究的一切阶段为他们提供了极为实用的帮助。”(《国际展望:九十年代的数学教育》,同前,第34-5页)

第二,计算机的使用导致了数学中不少新的研究分支或方向。例如,由于计算机的使用使得大量过去无法实现的计算成为可能,这就使得一些传统的研究问题得以复活,并直接导致了一些新的研究分支,如“计算数论”、“计算几何学”等。另外,也有一些问题因为计算机的使用变得特别重要。例如,尽管人们早在两千多年前就已引进了“算法”这样一个概念,后者却因为计算机的使用在现今获得了人们的更大重视,相关的研究也获得了新的内容:“近年来,由于计算机的引进,算法又唤起了人们的极大兴趣。……对许多同类问题已经开发了很多计算机算法。某些情况下,可用多种算法解决同一问题,诸如将名字按字典顺序排列或求一个矩阵的逆矩阵。此时,人们选择的算法,不仅要解决问题,而且还要是符合要求的好几种算法中‘最佳’的一个。有些算法虽节约了运行时间,但可能浪费了内存空间,或者是反过来的情况,这就需要找出与一个或多个参数有关的最优的或至少是有效的算法,由此开辟了复杂度理论的研究。”(《国际展望:九十年代的数学教育》,同前,第8-9页)

在此我们并应特别提及所谓的“离散数学”。这也就如《九十年代的中小学数学》中所指出的:“计算机本质上是离散的机器,而且描述计算机功能所需的数学以及发展计算机软件所用到的数学也是离散的。其结果,对离散数学——布尔代数、差分方程、图论……的兴趣在近些年来已经有了巨大的增长。”(《国际展望:九十年代的数学教育》,同前,第118页)

最后,计算机的使用也导致了数学观的重要变化,对此我们可在多个不同的层面清楚地看到。例如,计算机的使用正在改变人们关于什么是数学问题的“满意解”的认识:计算机出现以前,数学家努力把问题的解处理成某种优雅的代数形式,包括熟知的代数和三角展开等具体形式;今天,应用数学中问题的令人满意的解则往往是指找到一个可以产生人们有兴趣的一切数值的计算机算法。另外,更为重要的是,计算机的使用引起了人们关于数学本质的新的思考:一些自称为“实验数学家”的新潮数学家正在努力创建一种新的做数学的方法,即主要通过计算机实验作出新的发现,又由于后者与传统的研究方法有很大的不同,因此,在这些数学家看来,计算机的使用就正在改变数学的性质:“由于计算机的出现,今日数学已不仅是一门科学,还是一种普适性的技术……”(详可见“今日数学及其应用”,《自然辩证法研究》,1994年第1期)考虑到普遍的“数学化”趋势,后一说法显然不无道理。

其次,除去外部的促进以外,我们也应看到由于自身研究的深入所造成的数学的变化。

例如,从教育的角度看,这方面最为重要的发展就是若干新的、具有更大概括性的概念和理论的建立,因为,这必将直接导致对于传统题材的新的认识和理解。再则,除去这种“深度”上的变化以外,我们显然也应注意数学在“广度”上的发展,即是新的研究方向的开拓,因为,这两者都必将对数学教育的未来发展产生十分重要的影响。

最后,正如前面所指出的,我们又应高度重视数学观念的现代演变,特别是由静态的、机械反映论的、绝对主义的数学观向动态的、模式论的、经验和拟经验的数学观的转变,对于数学教育的重要涵义;当然,从更为深入的层次看,我们又应明确肯定数学的多元性和辩证性质,并应注意分析各种观念的教学涵义。

例如,从上述角度去分析,我们即可看出现行师资培养工作(包括职前教育与在职教育)的一个明显不足,即是人们往往比较重视数学知识的学习和更新,以及如何用现代数学思想把握初等数学的相关内容等,但却未能对于观念的更新予以同样的重视。

3.就教育科学研究的深入而言,应当首先提及学习理论的现代发展,因为,后者为我们更为深入地认识数学学习与教学活动的本质提供了直接基础。学习理论的现代发展不仅是指认知学习理论这样的微观研究,也包括更为宏观意义上的社会—文化研究。例如,这就正如基尔帕特里克在对数学教育研究的历史发展进行总结时所指出的:“研究者们现在开始认真地看待数学教育的社会和文化方面了。”

进而,正如前面所已指出的,这又应被看成后一方面研究最为重要的一个结论,即是更为清楚地表明了数学教育的文化性质,包括我们应以努力创建既符合时代需要又适合中国国情的数学教育作为自己的工作目标。

4.综上可见,我们确应从社会的进步、数学的发展与教育理论研究的深入这样三个方面更好地去理解与把握数学教育的现代化问题,包括明确提出创建信息时代的数学教育这样一个努力目标。

进而,在笔者看来,我们事实上也可从同一角度去理解《人人算数》这一对于美国新一轮数学教育改革运动具有重要指导意义的纲领性文件中所提出的以下7个观念转变的重要性,因为,后者在很大程度上也可被看成中国数学教育在成功实现现代化的道路上所应特别注意的一些问题:

第一,学校数学教育的目标应当由“双重目标”——对大多数学生的低标准和少数学生的高标准,过渡到对所有学生普遍的高标准。

第二,数学教学由建立在“知识的传授”与“例题—练习”之上的“权威型模式”转变到以“对学生的鼓励”和“积极的探究”为特色的以学生为中心的教学方法。

第三,要使公众从对数学的态度由漠不关心或敌意转变到确认数学在现代社会中的重要作用。

第四,数学教学应由单纯追求运算技能转变到培养多方面的数学能力。

第五,数学教学应由强调为进一步学习作准备转变到更多地强调与学生当前和未来的需要有关的题材。

第六,数学教学由原来的强调一张纸、一支笔的演算转变到全面使用计算机和计算器。

第七,要使人们的数学观由把数学看成任意规则的不变汇集转变到把数学看成处于积极发展之中的模式的科学。

当然,又如前面所已提及的,我们应当针对中国国情对此作出必要调整和发展,并应更加重视辩证思维的自觉指导。

 

本文摘自“郑毓信. 新数学教育哲学[M]. 上海:华东师范大学出版社,2015”。

 

  • 如何看待前十多年的课改?
  • 如何辨证认识建构主义、“四基”、“三维目标”?
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作为中国数学教育哲学研究的领军人物,在本书中,郑毓信教授结合当前数学教育课程改革,对这些问题从理论和实践的角度给予了明确回答。本书精装,可在各大网络书店购买。

作者简介

郑毓信,南京大学哲学系教授,博士生导师。中国自然辩证法研究会数学哲学专业委员会委员,国际数学教育大会(ICME-10)程序委员会委员,美国《数学评论》杂志评论员,中英澳暑期哲学学院中方委员会委员。1965年毕业于江苏师范学院数学系,1981年硕士研究生毕业于南京大学哲学系。长期从事数学哲学、科学哲学、数学教育与科学教育的专门研究。曾多次赴英、美等国与我国港台地区作长期学术访问或合作研究,并先后应邀赴意大利、荷兰、德国等国多所著名大学作专题学术讲演。在国内外学术刊物发表论文330多篇,出版《数学方法论》、《数学文化学》、《西方数学哲学》、《科学哲学十讲》等专著31部,学术成果获省部级奖项7次。1992年起享受政府特殊津贴。并已被列入英国剑桥世界传记中心(IBC)编撰的《世界知识分子名人录》。

 

 

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