2017年12月14日

数学学习的基本原则

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数学学习也要回答三个问题:为什么而学习?学什么?怎样学?数学学习原则就为这些问题提供理论依据.

数学学习是一种独特的脑力劳动,对不同的学生、不同的学习内容和学习要求.学习的对策是不相同的.从教材的规定性和学生同社会联系的具体现状出发,采用带有普遍性意义的启发式教学下的学习方式.

《数学教学要目》中把“对自然界和人类社会诸现象进行数学观察能力、函数思维能力、空间想象能力”, 培养学生“能算善想”的良好习惯作为数学教育的核心.波利亚在20年代就提倡加强思维训练,“学生学会思考”,运用数学去解决日常问题、科技问题、谜题、社会问题等.

一、 阶段渐进原则

波利亚结合“学习三阶段”提出循序阶段原则,他认为教学中常常忽视“探索”与“吸收”两个阶段,只断取了中间“概念水平”阶段,从而人为地割裂了学生认识数学应该具有的循序阶段性,使之缺乏认识的基础,又丧失了提高的机会.应该在引入新知识时能与周围现实世界密切相联,并与学生的现存知识、生活经验及自然好奇心密切相联;在理解薪资回事后,应要求学生能把新知识应用于解决新问题,或者简化老问题的解决.学生通过所学知识,对过去所学的内容的条理看得更为清晰,从而进一步开阔眼界.

波利亚还提倡循序渐进地实施解题教学.他建议讲解例题时,先让学生观察题目,以激起学生索解的冲动,讲解完毕,留出时间供回顾讨论.练习课中应提供一些能引起思考和争论性的题目,以便“吸收阶段”能顺利进行;全部题目的安排要体现出思维上的阶梯性,按解题方法的内在联系,一步一个台阶,逐步引向深入,使学生亲自体验在独立 研究中碰到的各种不同情景.

二、启发探究原则

针对 “以训诫为主的强制灌输”教育方式,孔子提出了“不愤不启,不悱不发举一隅而不三隅反,则不复也”的主张.

启发式的最大特点是引导学生动脑筋,最大限度地调动学生潜在的主动性、积极性,通过主题内因发展思维能力.

古今中国数学家直接间接地接受了这种思想而大力提倡启发式,如赵爽主张“凡教之道……愤之,悱之,然后启发,举一隅,使反之以三也”(后人谓之,“举一反三”),华蘅芳的“诱掖而引进之”也是这个意思;华罗庚、苏步青都采用启发式指导教学,促进了知识学习和智力发展的结合.人的灵魂一生下来就拥有真善美与内在的固有价值(潜存在观,pre-existence),因此教育不再是授知,而仅仅在于唤醒,在于使他内在的人性能充分展开,寻找自我.也就是让学生通过思索产生智慧,再发现(re-discovery)自己已有的知识.

像波利亚的“怎么解题表”就是启发式教学提问表,他的“解题教学风格”就是启发式的生动运用.弗赖登塔尔认为“潜存在观”应予扬弃,我们需要的是“再发现方法教学”的思想内核,同时,“再发现”(re-invention),当然它也离不开启发式或问答法.他进而指出:教学要像助产士一般,时刻观察者、联系着他的工作对象,决不可之借用学生的耳朵,而不启发学生的脑子.也就说,学生的学习是在老师的思维启发下,师生之间,学生之间的合作探究.

三、过程学习原则

“让学生看到思维过程”,这种愿望在名家队伍中由来已久.七八百年前,李冶反对“褊心跼,不肯晓然示人,唯务隐在错糅,故为溟滓黯黵.唯恐学者得窥其仿佛”的陋习,意在不可故弄玄虚,要把来龙去脉显示于学者,使其知所以然.到近代,华蘅芳身体力行暴露思维过程,他认为“古人之算学书每使人猝不易解,……病在于只将所造之镜以示人,而其从人之途,……皆秘匿而不道,因此,他“力挽之习,于一切算法无不坦白示人……不求深奥,不避粗俗,惟使人易明而已”.

“让学生看到思维过程”是提高数学学习积极性的得力措施,伟大的数学家希尔伯特的老师福克斯习惯于课堂上现想现推,有时就把自己置身于困境,再“突围”出来,这使希尔伯特有机会看到高明的思维过程是如何推进的,有力地促进了思维能力的提高.波利亚在“解题教学”中也让学生看到思维过程,而不直接出示哪怕是绝妙的解答,意在使学生能从教师的分析中懂得怎样去变更问题,怎样引入辅助问题,怎样进行联想及类比,等等.因此,学生要是教学活动的参与者,而不是旁观者;学生对数学题的求解,要当作者,而不是读者.自己积极去思考探究,比接收现成的结论(答案)强百倍.

四、归纳演绎原则

随着名家们对归纳与演绎这两个属性的不同侧面的充分认识,对数学发现艺术的深入了解,“演绎与归纳并重的原则”在数学教学中被普遍接受.这一原则波利亚解释为创造过程的实验归纳性和结果的系统演绎性.

遵循这一原则,既要教学生学习运用科学归纳、类比等方法去猜结论、猜条件、猜解法,又要让他们掌握从探索性演绎法过渡到纯形式的演绎法,把猜得的合理命题的证明建立在逻辑演绎基础上.与传统教学相比较,其中加强了实验归纳思想的教学,这正是名家们的匠心所在.

波利亚觉得以前很少把处于发现可能的过程数学提供给学生,因而呼吁:“要让学生看到数学建造过程的脚手架,而不是简单的现成品”,应加强合情理推理教学,在介绍演绎证明的同时教学生猜想,教探索性论证,让学生由发现尝试.

让自己喜欢并真正理解数学,有必要“学生再创造(re-create)数学”,即学生学会建立结果与证明.如果忽略数学归纳发现过程的教学,而过分地偏向于演绎化,就会使学生误以为数学是天才的创造物,数学定理是数学家通过演绎推理直接由几个公理导出,这就是完全曲解了数学(事实上一些伟大的数学观念的产生根本不是逻辑的结果),容易使学生产生困惑与自卑,抑制了发现数学的愿望,不利于创造性思维能力的发展.

学生在课堂上处于活跃、自由、富有创造欲望的状态,根据教师提供的实例或具体的“数学现实”,由学生们自己发现数学结论,“再创造”数学.不光是接收现成的演绎体系,还必须数学地组织现实世界(具体事物或数学概念和规律)的方法——包括公理化方法、使用数学语言形式化、现实问题转化为数学模式的方法等,参与“数学化”的过程,使数学学习成为一个趣味盎然的活动,学生在思考中活动,在活动中思考.

五、自主学习原则

充分发挥自己学习的主动性,启动自己的思维器官去探索数学的奥秘.

波利亚说:教师讲了什么并非不重要,但更重要千万倍的是学生想了些什么,学生的思路应该在学生自己的头脑中产生,主动系统地发现事物,在允许的条件下亲自去发现尽可能多的东西,同时,学生要接受教师恰当的帮助,特别是“内部帮助”.多问是什么?为什么?哪里?何时?怎样?以催化自己思想的产生.

为了主动学习,华罗庚反对“包教包会”的作法.他举例说:学生听课之后,有不懂之处就去问老师,两次,三次,没懂再问……表面上近乎好学,但实质上是学生把希望寄托于“去问”,自己懒于思考,缺乏主动性.老师不是直接以现成的答案解决学生的疑难,而是从旁提供启发线索,或借以参考书,一定要由学生主动思考后依靠自己得出结果.

真正的好老师教学时总是把学生定理的证明留给学生,只启发学生.我们需要或者热爱这样的老师,爱上老师这样的教学方式.

学生启动自主学习,必须自己主动积极配合老师,教师只能起启发引导作用,关键在于学生自己的主动性.“好学君子自相触类而考,何必尽传”,不必尽传只缘有“好学君子”.培养自己的好奇心、自觉性、意志等非智力品质视为贯彻这一原则的具体途径,创新潜质生懂得依靠自己是最可靠的力量.

六、动机激发原则

学生对教学的内在兴趣是学习的最佳动机,是执着求索的强大动力,“兴趣是最好的老师,它永远胜过责任感.”应当把兴趣的和爱好作为正在形成某种智力的契机来培养.

任何数学教学形式都在寻求激发最佳动机的办法.教师“有责任使学生信服数学史有趣的”(波利亚),然而“数学教育的最大缺陷之一却正是缺乏这种动机理解证法的大概轮廓,学生若想掌握教学内容,就得在课后主动花几倍功夫加以整理、完善的激发”.名家们深信兴趣可以培养,并积极寻求培养的途径,教师引入问题活泼、新鲜,有时诙谐些,或说些似是而非自相矛盾的见解,让学生猜测,当他们表示出某种猜想以后,就会进一步追求猜想的正确与否,从而热心起来(波利亚);在老师的指导下指导发现数学中有趣味的东西(如简便方法),领略数学的内在魅力,好像被带进花园,而不是在门外赏花,主动学生攻钻难题,一旦成功,就会心怀喜悦,信心大增(华罗庚);还要体会到自己不断地有收获(苏步青);加强数学美的感受(怀特海);等等.

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