2018年7月12日

初中数学复习课如何上

作者: 

初中数学复习课如何上

李文革

我们的复习课通常由两个环节组成:一是归纳知识。把学过的知识进行归纳整理,构建知识网络。二是解题训练。教师先讲一些典型例题,然后让学生模仿例题进行大量训练。这种复习方法存在一定的弊端:首先,把知识和解题截然分开,容易导致学生死记硬背知识要点,让学生感到还是不能得心应手地灵活应用知识解决问题;二是在知识归纳阶段,学生往往感到枯燥乏味,调动不起学习热情;三是过分的题型分类容易限制学生的思路,使学生的思维缺乏发散性。复习课应该把知识归纳融入到解决问题的过程中,提高学生灵活运用知识解决问题的能力。复习课应该强化解题思路分析,提升学生的思维水平。特别是应该通过开放性问题和变式训练提高学生的发散思维能力。

一、通过问题解决梳理知识体系

例如:在复习全等三角形的判定时,可把对全等三角形的判定方法的归纳融入到解决下列问题的过程中。

例1 如图1,A、B、C三点在同一条直线上,∠A=∠C=90°,AB=CD,请添加一个适当的条件                       ,使得△EAB≌△BCD。

图1

【分析】

根据SAS,可添加条件:AE=CB;

根据ASA,可添加条件:∠ABE=∠D,或EB⊥BD;

根据AAS,可添加条件:∠E=∠CBD,或EB⊥BD;

根据SSS,需添加两个条件:AE=CB,BE=DB(不合题意);

根据HL,可添加条件:BE=DB。

再例如:在复习整式的运算时,可把对有关运算法则的归纳融入到解决下列问题的过程中。

例2 试写出一个有关单项式的运算的式子,使其运算结果是a12b6

【分析】

根据整式的加减法,可写出运算式子如:3a12b6-2 a12b6

根据整式的乘法(单项式乘以单项式),可写出运算式子如:a7b4·a5b2

根据幂的乘方和积的乘方,可写出运算式子如:(a6b32

根据整式的除法(单项式除以单项式),可写出运算式子如:a13b9÷ab3

【说明】

在解决以上两个问题的过程中,学生从不同的角度思考问题,不仅有效地再现了基础知识,而且也培养了学生的发散思维能力。

二、通过思想方法沟通知识联系

在复习课中,要引导学生用数学思想方法统领数学知识,以数学思想方法为纽带,打通相关知识之间的联系,从而深化对相关知识的理解和掌握。

1.借助“分类”思想串联知识

例如,可借助“分类”思想,将下列知识串联起来,从而提升学生对知识的理解水平:

(1)将实数分类。

(2)将立体图形的视图分类。

(3)将两条直线的位置关系分类。

(4)将三角形分别按边和角分类。

(5)将四边形分类。

(6)分别将一次函数、反比例函数、二次函数的图形进行分类。

(7)将一元二次方程根的情况进行分类。

(8)将解直角三角形的情况进行分类。

(9)分别将点、直线与圆的位置关系进行分类。

(10)证明圆周角定理。

进一步可让学生完成下列练习:

(1)数轴上点A对应的数为,若AB=1,则点B所对应的数是多少?

(2)关于数a,它是正数吗?它有平方根吗?

(3)直角三角形的两条边长分别为3cm和4cm,则斜边长为多少cm?

(4)在△ABC中,若∠A=40°,∠B=           °时,△ABC是等腰三角形。

(5)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°,则这个等腰三角形的顶角是多少度?

(6)若等腰三角形有一边为10,面积为30,求它的另外两条边的长。

2.借助“类比”思想并联知识

如图2所示,可借助“类比”思想将数、式和方程知识并联起来,从而提升学生对知识的理解水平。

图2

3.借助“模型”思想统一知识

解直角三角形的应用与解方程的应用本质上是相同的,都是模型思想。解方程的应用是建立方程模型,解直角三角形的应用是建立直角三角形模型,二者的模型思想方法可用如图3所示的框图表示。

图3

从而让学生体会到:不管是代数问题还是几何问题,所使用的数学思想方法都是一样的——模型思想,进而使学生对数学的认识上升到一个新的台阶——代数和几何是相通的。

三、通过思路分析提升思维水平

数学教学的根本目标是提高学生的思维水平。强化解题的思路分析是提高学生思维水平的根本途径。在复习课中,应通过强化解题思路分析,一方面复习解决问题的基本方法,另一方面进一步教会学生如何思考。

例3 证明“三角形三条中线交于一点”。(详见“朱晨菲. 基于波利亚‘怎样解题表’的一个操作性分解——以证明‘三角形三条中线交于一点’为例[J]. 数学教学,2018(4):13-18”)

【分析】

解决一个数学问题通常分三步:第一步,转化问题——确定解决问题的方向,重新表述问题,并进一步明确问题的条件和结论;第二步,回忆方法——解决同类问题有哪些方法;第三步,尝试解决——分别用已有的方法进行尝试,直至解决问题。

第一步,转化问题:证明三角形两条中线的交点在第三条中线上。如图4,进一步明确问题的条件和结论:

条件:线段BE、CF分别是AC、AB边上的中线,BE、CF交于点O。

结论:AD是BC边上的中线,AD与BE的交点O′与O是同一点;

或AO的延长线与BC的交点G是BC的中点;

或AD是BC边上的中线,A、O、D三点共线。

图4

【思路一】证明“AD与BE的交点O′与O是同一点”。

第二步,回忆方法:

若证明“AD与BE的交点O′与O是同一点”,一般采用“同一法”。

第三步,尝试解决:(证明略)

利用“同一法”证明AD与BE的交点O′和BE、CF的交点O是同一点。

思路:同一点意味什么?→在同一线段中担当角色相同→在BE中担当角色相同。

【思路二】证明“AO的延长线与BC的交点G是BC的中点”,即证明:BG=CG。

第二步,回忆方法:

若证明“AO的延长线与BC的交点G是BC的中点”,即证明:BG=CG。

证明两条线段相等,可用的方法有:(有些根据题目的条件即刻就可否定)

  • 全等三角形;
  • 相似三角形;
  • 线段垂直平分线;(×)
  • 角平分线;(×)
  • 圆;(×)
  • 平行四边形(含矩形、菱形、正方形);(×)
  • 等腰三角形;
  • 三角形的中位线;
  • 面积相等的三角形若高相等则底相等;
  • 等量代换;
  • 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(×)

第三步,尝试解决:(证明略)

(1)利用“全等三角形”证明AO延长线与BC的交点G是BC的中点,即证BG=CG。

思路:原图中有没有全等?→没有,要构造。

(2)利用“面积相等的三角形若高相等则底相等”证明AO延长线与BC的交点G是BC的中点,即证BG=CG。

(3)利用“相似三角形”证明AO延长线与BC的交点G是BC的中点,即证BG=CG。

思路:利用相似证明BG=CG就是要证明什么?→ BG∶CG=1∶1。

(4)利用“平行四边形”证明AO延长线与BC的交点G是BC的中点,即证BG=CG。

思路:平行四边形中同一直线上的相等关系可能出现在哪里?→对角线互相平分。

【思路三】证明“A、O、D三点共线”。

第二步,回忆方法:

若证明“A、O、D三点共线”,即证明:

∠AOD=180° (×)

或OA、OD在一条直线上。

证明两条线段在同一条直线上,可用的方法有:(有些根据题目的条件即刻就可否定)

  • 过一点有且只有一条直线与已知直线平行;
  • 平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
  • 等腰三角形三线合一;(×)
  • 面积为0 。(×)

第三步,尝试解决:(证明略)

利用“过一点有且只有一条直线与已知直线平行”证明A、O、D三点共线,即证OA、OD在一条直线上。

思路: OA、OD可能平行于哪条直线?→取OC的中点Q,连结DQ、EQ,都平行于EQ。

四、通过变式训练提高解题能力

在复习时,适当给学生归纳题型是必要的,但应注意过分归纳题型容易使学生形成收敛思维,在解题时习惯套类型,打不开思路。在给学生适当归纳题型的同时,也要注意培养学生的发散思维。例如,在复习“多边形的内角和与外角和”时,可从如下的问题入手:

例4 一个多边形的各内角都等于120°,它是几边形?(详见“张继海. 题根·初中数学[M]. 上海:华东师范大学出版社,2014:184-187”)

【分析】

解决本题,有两条思路:一是根据多边形的内角和等于(n-2)·180°求解;二是根据多边形的外角和等于360°求解。这样在解决问题的过程中,既梳理了知识,又体现了“一题多解”。接下来就是以例4为出发点,进行如下的变式训练。

变式1:一个多边形的内角和等于1260°,它是几边形?

变式2:若多边形除去一个内角后,所有剩下内角的和等于1700°,求这个多边形的边数。

变式3:一个多边形的每个外角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为9:2,则这个多边形的边数为多少?

变式4:试证明一个多边形最多只有三个内角是锐角。

变式5:只用下列图形中的一种,能够进行平面镶嵌的是(  )

(A)正十边形(B)正八边形(C)正六边形(D)正五边形

变式6:如图5,小亮从A点出发,沿直线前进10米后向左转30°,再沿直线前进10米,又向左转30°,……,照这样走下去,他第一次回到出发地A点时,一共走了    米。

【2006年常州市课改实验区中考题】

图5

变式7:如图6,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。

图6

变式8:如图7,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=n90°,则n=      

图7

变式9:如图8所示是小张生产的一块模板,其中AF∥CD,AB∥DE,按规定AF与DE的延长线相交要成80°的角,因为交点不在模板上不好测量,小张正没注意,师傅告诉他只需测量一个角就行,你知道是哪个角吗?为什么?

图8

【说明】按照以上的设计进行复习教学,把知识梳理融入解决问题的过程中,使学生把问题和知识紧密联系起来:看到问题想到相关知识;看到知识想到相关问题。从而提高解决常规问题的能力。然后以此为出发点,让思维不断发散,通过各种变式训练,进而提高解决非常规问题的能力。通过这样的复习,学生对知识的理解得到深化,解决问题的能力得到提高。

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