2018年7月12日

数学中的“无字证明”

作者: 

数学中的“无字证明”

李文革

在学习勾股定理时,我们利用图1来证明勾股定理.

图1

在学习整式的乘法时,我们利用图2来解释完全平方公式:

图2

这些都是利用图形来直观地推论或验证数学规律和公式.我们称这种方法为“无字证明”.它体现了数形结合的思想方法,展示了数学美,起到了“此时无字胜有字”的效果.“无字证明”可以用于数学中很多问题的证明.

一、不等式中的“无字证明”

1 证明基本不等式: ,当且仅当 a=b时,等式成立.

如图3,在直线l上取B、D、C三点,使BD=a ,DC=b .取线段BC的中点O ,以线段BC为直径作圆O.过D点作BC的垂线,交圆O为A点,连结 AB、AC 、AO .显然,,且 ,当且仅当 点与 点重合时,AO=AD .

图3

2 设x、y、z 为正数,求证:

构造如图4, 由余弦定理知

图4

3 若a、b、c、d都大于0,求证:

利用如图5即可证明.

图5

我们还可进一步证明:如果两个分数的分子和分母都是正数,那么把它们的分子和分母分别相加,得到的新分数的大小在原来两个分数之间.这时,我们只需要在图5中把关注的重心从这几条斜线段的长度转移到它们的斜率即可,如图6所示.

图6

二、数列中的“无字证明”

4 求证:

利用图7即可证明.

图7

5 斐波那契数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,…设其第n项为,求证:

利用图8即可证明.

图8

三、组合数中的“无字证明”

6 求证:

利用图9即可证明:从最后一行中任取两个球的组合数等于前面各行的总球数.

图9

四、其他方面的“无字证明”

7 证明:把可乐罐摆成边长为n的六边形阵,需要听可乐.即证明第n个六边形数

利用图10即可证明:把由个小正方体组成的大正方体挖掉由个小正方体组成的正方体,就是所需要的可乐听数.

图10

联系我们

  • 通讯地址:上海市中山北路3553号伸大厦14楼
  • 邮编:200062
  • 教材中心:021-60821765
  • 编辑部:021-60821715
  • 市场部:021-60821710
  • 传真:021-60821766
  • Email:chengbin@ecnupress.com.cn
Top
We use cookies to improve our website. By continuing to use this website, you are giving consent to cookies being used. More details…