2018年9月5日

平面的镶嵌

作者: 

平面的镶嵌

李文革

平面的镶嵌是指用一种图形或多种图形无缝隙、无重叠地铺满平面。据说早在毕达哥拉斯时代就开始了对这一问题的研究。华东师大版初中数学教材在七年级下册第88~92页对这一问题进行了简单研究。

一、用正多边形铺满平面

1.用单一的正多边形铺满平面

正n边形的内角和为(n-2)180°,它的每个内角的度数为(n-2)180°/n。如果它能铺满平面,则存在正整数m,使m(n-2)180°/n=360°,即

m(n-2)=2n。

解得n=2+4/(m-2)。

由于n为正整数,因此m=3、4、6。这时n=6、4、3,即只有正三角形、正方形、正六边形才能铺满平面。如图1是用正六边形铺满平面的情况。

图1

2.用多种正多边形铺满平面

对于给定的几种正多边形,它能否拼成一个平面图形,是看它们的内角加在一起能否组成一个周角,而我们可以利用多边形的内角和定理求出正多边形的内角。

设围绕某一点需要m块正多边形材料填充平面,则3≤m≤6。

求上述(1)~(4)四个方程的正整数解可得如下表所示的17种情况。

其中,第10、14、17种情况就是我们在“用单一的正多边形铺满平面”中讨论的三种情形,它表明只有正三角形、正方形、正六边形能填充平面。第1、2、3、4、6、9种情况不能填充平面。剩下的情况都能填充平面。

第5种情况如图2(1)所示;第7种情况如图2(2)所示;第8种情况如图2(3)所示;第11种情况如图2(4)所示。

图2

第12种情况如图3(1)所示;第13种情况如图3(2)所示;第15种情况如图3(3)所示;第16种情况如图3(4)所示。

图3

二、用任意一种凸多边形铺满平面

1.用任意三角形

用任意两个相同的三角形均可以拼成一个平行四边形。如图4所示,平行四边形显然可以铺满平面。所以用任意的一种三角形均可以铺满平面。

图4

2.用任意四边形

如图5所示,用任意一种四边形均可铺满平面。

图5

3.用任意五边形

并非所有的五边形都能铺满平面。如图6所示,迄今为止人们已找到15种能铺满平面的五边形。

图6

2015年美国华盛顿大学数学家运用计算机程序,发现了如图7所示的第15种可以实现无缝拼接的凸五边形,它铺满平面的情形如图8所示。

图7

图8

4.用任意六边形

迄今为止人们仅仅找到为数很少的几种能铺满平面的任意六边形,其中的一种如图9所示。

图9

三、用不规则图形铺满平面

1.用单一的不规则图形铺满平面

如图10就是用单一的不规则图形铺满平面的情形。

图10

2.用多种不规则图形铺满平面

(本部分参见:吴振奎,吴旻. 数学中的美[M]. 上海教育出版社,2004:292-295)

20世纪70年代,英国物理学家彭罗斯发表了他关于平面镶嵌的研究结果,他确定了如下三类瓷砖(下称彭罗斯瓷砖):

如图11,第一类两种分别为风筝形和镖形,它们是由同一个菱形剪出的。

图11

如图12,第二类是由边长相同、胖瘦不一的两种菱形组成的(有趣的是它们面积比恰为

图12

如图13,第三类则由四种图形组成。

图13

有趣的是这三类瓷砖皆与正五边形(或五角星)有关:这些图形中的角要么是108°(正五边形内角),要么是72°(正五边形外角),要么是它们的一半或倍数:36°、144°、216°…

又如第一类的风筝形与镖形是由一个内角为72°的菱形依照五角星对角线长来分割而成的,即如图14(1)、(2)中AE、DE对应相等或比值相等。

图14

如图15,用它们中的每一类皆可铺满平面,同时铺设结构不具“平移对称性”,也就是说从整体上看图形不重复。

图15

用第二、三类彭罗斯瓷砖可铺砌成如图16所示的图形。

图16

利用彭罗斯瓷砖进行铺砌时,还可从铺砌的图形中,找出上述瓷砖自身的“克隆”,比如用第三类瓷砖的铺砌中(图17(1)所示)总可以找到它们的放大图形(图17(2)中粗线表示)。

图17

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